Menganggarkan punca kuasa dua

Satu kaedah mudah menganggar punca kuasa dua untuk satu nombor ialah dengan menggunakan persamaan berikut:

punca kuasa  ≃  punca kuasa dua diketahui − kuasa dua diketahui − kuasa dua tak diketahui 2 × punca kuasa dua diketahui {\displaystyle {\text{punca kuasa }}\simeq {\text{ punca kuasa dua diketahui}}-{\frac {{\text{kuasa dua diketahui}}-{\text{kuasa dua tak diketahui}}}{2\times {\text{punca kuasa dua diketahui}}}}\,}

Semakin hampir kuasa dua diketahui kepada yang tak diketahui, semakin tepat penganggaran tersebut. Sebagai contoh, untuk menganggar punca kuasa 15, kita boleh mulakan dengan mengetahui yang kuasa dua sempurna paling hampir ialah 16 (4²).

punca kuasa ≃ 4 − 16 − 15 2 × 4 ≃ 4 − 0.125 ≃ 3.875 {\displaystyle {\begin{aligned}{\text{punca kuasa}}&\simeq 4-{\frac {16-15}{2\times 4}}\\&\simeq 4-0.125\\&\simeq 3.875\\\end{aligned}}\,\!}

Jadi kita telah menganggar punca kuasa dua 15 sebagai 3.875. Punca kuasa sebenar 15 ialah 3.872983...

Penerbitan

Katakan kita mahu mencari punca kuasa dua satu nombor yang dipanggil 'x'. Secara definisi

p u n c a k u a s a 2 = x {\displaystyle \mathrm {puncakuasa} ^{2}=x\,\!}

Kemudian kita mendifinisikan semula punca kuasa tersebut

p u n c a k u a s a = a − b {\displaystyle \mathrm {puncakuasa} =a-b\,\!}

'a' ialah punca kuasa diketahui (4 dalam contoh di atas) dan 'b' ialah perbezaan antara punca kuasa diketahui dan jawapan yang kita sedang cari.

( a − b ) 2 = x {\displaystyle (a-b)^{2}=x\,\!}

Kembangkannya

a 2 − 2 a b + b 2 = x {\displaystyle a^{2}-2ab+b^{2}=x\,\!}

Dan di sini adalah helahnya. Jika 'a' hampir dengan sasaran anda, 'b' akan menjadi nombor yang cukup kecil untuk membuatkan elemen + b 2 {\displaystyle +\,b^{2}\,\!} dalam persamaan tersebut terabai. Jadi kita buang + b 2 {\displaystyle +\,b^{2}\,\!} dan susun semula persamaan menjadi

b ≃ a 2 − x 2 a {\displaystyle b\simeq {\frac {a^{2}-x}{2a}}\,\!}

jadi

p u n c a k u a s a ≃ a − a 2 − x 2 a {\displaystyle \mathrm {puncakuasa} \simeq a-{\frac {a^{2}-x}{2a}}\,\!}

Mengekstrak punca kuasa untuk kuasa-kuasa yang sempurna

Ini merupakan satu tugas yang mudah untuk banyak kuasa-kuasa yang besar, tetapi kurang berguna selain untuk membuat kawan anda kagum (Secara praktikalnya, pencarian punca kuasa jarang melibatkan kuasa-kuasa sempurna). Tugas ini tidaklah sesusah bunyinya terutamanya kerana kaedah asasnya ialah mencari digit terakhir menggunakan digit akhir kuasa yang diberi dan seterusnya mencari digit-digit yang lain menggunakan magnitud kuasa yang diberi. Kaedah ini mungkin kelihatan sukar difahami, tetapi bagaimanapun ia ada direkodkan dan dipraktikkan. Lihat punca kuasa ke-13.

Mengekstrak punca kuasa tiga

Kaedah mudah untuk orang yang baru belajar ialah mengekstrak punca kuasa tiga dari kuasa tiga nombor 2 digit. Contohnya, diberi 74088. Tentukan 2 nombor digit yang apabila yang didarab dengan dengan dirinya tiga kali, menghasilkan 74088. Seseorang yang mengetahui rahsianya akan dengan pantas mengetahui jawapannya iaitu 42, 423 = 74088.

Sebelum mempelajari prosedurnya, sesorang pengira perlu menghafal kuasa tiga nombor dari 1 hingga 10.

• 13 = 1 (digit akhir 1)
• 23 = 8 (digit akhir 8)
• 33 = 27 (digit akhir 7)
• 43 = 64 (digit akhir 4)
• 53 = 125 (digit akhir 5)
• 63 = 216 (digit akhir 6)
• 73 = 343 (digit akhir 3)
• 83 = 512 (digit akhir 2)
• 93 = 729 (digit akhir 9)
• 103 = 1000

Kemudian, tentukan digit pada tempat sa mengikut keterangan di bawah. Contohnya, untuk mengekstrak punca kuasa tiga untuk 29791. Oleh kerana nombor ini berakhir dengan 1, jadi digit pada tempat sa (digit paling kanan) untuk punca kuasa tiganya adalah 1.

• Jika kuasa tiga sempurna berakhir dengan 0, punca kuasa tiganya mesti diakhiri dengan 0.
• Jika kuasa tiga sempurna berakhir dengan 1, punca kuasa tiganya mesti diakhiri dengan 1.
• Jika kuasa tiga sempurna berakhir dengan 2, punca kuasa tiganya mesti diakhiri dengan 8.
• Jika kuasa tiga sempurna berakhir dengan 3, punca kuasa tiganya mesti diakhiri dengan 7.
• Jika kuasa tiga sempurna berakhir dengan 4, punca kuasa tiganya mesti diakhiri dengan 4.
• Jika kuasa tiga sempurna berakhir dengan 5, punca kuasa tiganya mesti diakhiri dengan 5.
• Jika kuasa tiga sempurna berakhir dengan 6, punca kuasa tiganya mesti diakhiri dengan 6.
• Jika kuasa tiga sempurna berakhir dengan 7, punca kuasa tiganya mesti diakhiri dengan 3.
• Jika kuasa tiga sempurna berakhir dengan 8, punca kuasa tiganya mesti diakhiri dengan 2.
• Jika kuasa tiga sempurna berakhir dengan 9, punca kuasa tiganya mesti diakhiri dengan 9.

Seterusnya, tentukan digit pertama (paling kiri) untuk dua digit punca kuasa tiga dengan melihat pada magnitud kuasa tiga yang diberi. Untuk melakukannya, buang 3 digit terakhir dari kuasa tiga yang diberi (29791 -> 29) dan cari kuasa tiga paling besar darinya (ketika inilah, hafalan semua kuasa tiga di atas diperlukan). Di sini, 29 adalah lebih besar dari 13, 23(8) dan 33(27), tetapi kurang dari 43(64). Jadi, kuasa tiga terbesar yang kurang dari 29 ialah 3, yang juga digit pertama untuk dua digit punca kuasa tiga 29791.

Maka, punca kuasa tiga 29791 ialah 31.

Contoh lain:

• Cari punca kuasa tiga 456533.
• Punca kuasa tiganya mesti berakhir dengan 7.
• Selepas 3 digit terakhir dibuang, tinggal 456.
• 456 adalah lebih besar dari kuasa tiga nombor sehingga 73.
• Jadi, digit pertama untuk punca kuasa tiga ialah 7.
• Punca kuasa tiga 456533 ialah 77.